EL FENÓMENO FÍSICO-ARMÓNICO

 

JUAN IGNACIO FERNÁNDEZ MORALES

 

“Musica est exercitium arithmeticae occultum

nescientis se numerare animi”

                                                                       (La música es un ejercicio aritmético oculto del alma,

que no se da cuenta de que está contando)

 Gottfried Leibniz

Introducción

La naturaleza física del fenómeno acústico es de capital importancia para el músico, que necesita toda la información posible para poder cumplir competentemente su función, ya sea en labores de creación o de interpretación. Desde la elaboración tímbrica asociada a la orquestación hasta los ajustes sutiles de la afinación al tocar en conjunto o en solitario, una correcta comprensión del fenómeno físico-armónico es imprescindible para el adecuado desempeño del músico.

En las siguientes líneas, se pretende ofrecer una explicación clara y breve, pero suficientemente rigurosa para que el lector disponga de las herramientas conceptuales necesarias para captar las ideas esenciales, así como para profundizar posteriormente según las necesidades de cada situación particular. Además, se expondrán algunas aplicaciones de las nociones tratadas, a modo de ilustración.

 

El fenómeno físico-armónico: análisis y aplicaciones

Debemos recordar, en primer lugar, que el sonido es la percepción, mediante el sistema auditivo, de las ondas sonoras, que consisten en la propagación a través de un medio elástico (habitualmente, el aire) de variaciones en la presión o la tensión del medio. Estas variaciones, que se propagan en forma de ondas (es decir, se propaga la perturbación sin que haya un desplazamiento neto de materia), suelen estar provocadas, a su vez, por las vibraciones de un cuerpo elástico, como un diapasón, una cuerda o una columna de aire.

 

Figura 1: Representación esquemática del proceso sonoro

Figura 1: Representación esquemática del proceso sonoro

Las características del sonido percibido quedan determinadas por la forma concreta de las variaciones de presión. En particular, si la presión varía de forma periódica, es decir, se repite exactamente igual a intervalos fijos de tiempo (este intervalo de tiempo recibe el nombre de “periodo”), entonces el sonido percibido tiene una altura o tono determinado, que se caracteriza mediante su frecuencia, es decir, el número de veces que se repite la variación en cada segundo (que se mide en Hertzios) o, equivalentemente, el inverso del tiempo entre repeticiones de la variación (el inverso del periodo). Por ejemplo, si reconocemos un sonido como la nota “La” habitual de afinación, podemos deducir que la presión en el aire está sufriendo variaciones periódicas 442 veces en cada segundo (442 Hertzios) o, equivalentemente, que las variaciones se repiten cada 1/442 segundos, es decir, cada 2,26 milésimas de segundo aproximadamente.

Por otra parte, sabemos que es posible distinguir entre diferentes personas o instrumentos que estén generando la misma nota. En este caso, las variaciones de presión en el aire se repiten el mismo número de veces por segundo, pero la diferencia surge porque la forma del propio patrón de repetición es distinta en cada caso.  Esta cualidad del sonido, que nos permite reconocer las voces o instrumentos, recibe el nombre de “timbre” 1.  Veamos algunos ejemplos:

Figura 2: Ejemplos de sonidos con la misma frecuencia, pero diferente timbre

Figura 2: Ejemplos de sonidos con la misma frecuencia, pero diferente timbre

Se puede apreciar que, aunque los intervalos de repetición son los mismos (por tanto, la altura del sonido sería la misma en todos los casos), las formas de las ondas son diferentes. En particular, se aprecia que la forma de variación más suave (carece de picos o transiciones abruptas) corresponde al sonido del diapasón, cuyo timbre sabemos que se caracteriza por ser muy pobre.

La noción básica para comenzar a construir una comprensión cabal del fenómeno físico-armónico es la idea de que un armónico es un tipo de sonido que se caracteriza por tener el timbre más pobre posible (muy parecido al sonido del diapasón), que se corresponde con una forma de variación sinusoidal de la onda sonora, es decir, cuya variación sigue la función trigonométrica “seno”.

Figura 3: Variación sinusoidal

Figura 3: Variación sinusoidal

 

El otro elemento clave que necesitamos nos lo proporciona el descubrimiento, por parte de Jean-Baptiste Fourier, de que cualquier forma de variación periódica puede descomponerse en una suma de sinusoidales, es decir, puede descomponerse en la suma de otras formas que varían de la forma más sencilla posible, siguiendo la función trigonométrica “seno”.

Veamos con más detenimiento esta idea. Imaginemos un sonido cuya forma de variación es la “onda cuadrada”, que se muestra en la siguiente figura:

Figura 4: Onda cuadrada

Figura 4: Onda cuadrada

 

Lo que nos dice el Teorema de Fourier es que es posible descomponer esta forma de variación como la suma de formas sinusoidales o, a la inversa, sintetizar esta onda cuadrada sumando formas sinusoidales, de manera que cada nueva adición nos aproxima más a la forma cuadrada final deseada, como muestra la figura 5 2 :

Figura 5: Síntesis de una onda cuadrada mediante sus armónicos

Figura 5: Síntesis de una onda cuadrada mediante sus armónicos

 

La síntesis mediante sinusoidales (armónicos) puede emplearse de igual manera para reconstruir cualquier otra forma de variación, teniendo en cuenta que las frecuencias de los armónicos serán múltiplos enteros 3 de la frecuencia de la forma que queremos reconstruir, y que las  amplitudes de dichos armónicos se han de calcular de manera precisa siguiendo las fórmulas descubiertas por Fourier.

Esta técnica, de naturaleza esencialmente matemática, nos permite comprender el proceso sonoro desde una nueva perspectiva, que consigue dar sentido a fenómenos que de otra manera no podríamos explicar.

Imaginemos el sonido correspondiente a la onda cuadrada mencionada anteriormente, que se parece al timbre del clarinete. Teniendo en cuenta los párrafos anteriores, teóricamente sería posible sintetizar el sonido correspondiente a esa onda cuadrada (o, directamente, el sonido de una nota producida por un clarinete) mediante la suma de armónicos o, de forma equivalente, mediante un conjunto suficientemente grande de diapasones 4 (cuanto mayor sea el número de diapasones, más nos aproximaremos al sonido exacto deseado, con el límite marcado por el umbral superior de frecuencias audibles, 20000 Hertzios) afinados a frecuencias múltiplos de la frecuencia de la onda cuadrada 5 , golpeados cada uno de ellos con una intensidad relativa diferente que habríamos calculado previamente con las fórmulas de Fourier.

Generalizando, es posible sintetizar cualquier sonido mediante un conjunto de diapasones adecuadamente afinados, golpeados con las intensidades relativas adecuadas 6.

Es muy importante advertir en este punto que, si realizamos el experimento descrito anteriormente con los diapasones, sucede algo bastante inesperado: un conjunto de sonidos diferentes (muchos diapasones afinados a diferentes frecuencias) se funden por completo, generando la percepción del sonido de una sola nota de un timbre característico.

¿Cómo es posible que varios sonidos simultáneos se lleguen a percibir como uno solo? ¿Qué condiciones son necesarias para que esto suceda?

Si repasamos lo expuesto hasta ahora, podemos encontrar la clave: para que los armónicos se fundan en un solo sonido, es necesario que sus frecuencias sean múltiplos enteros de la frecuencia del sonido que queremos sintetizar. Como consecuencia de esta condición, la suma de los armónicos será una onda sonora periódica, cuya frecuencia será la del máximo común divisor de las frecuencias de los armónicos (que es justamente la frecuencia del sonido buscado), y será percibida como un solo sonido, cuyo timbre quedará determinado por las intensidades relativas de los armónicos.

Podemos realizar el proceso inverso a la síntesis, y descomponer un sonido en sus armónicos constituyentes. En este punto es conveniente insistir en que un solo sonido (una sola nota) está formado por diversos armónicos, a no ser que el propio sonido sea un armónico. Esta descomposición se puede hacer mediante técnicas matemáticas, pero resulta más conveniente para el músico utilizar el oído como herramienta analítica.

De hecho, nuestro sistema auditivo tiene una notable capacidad 7para aislar los armónicos que forman un sonido, si se presta la suficiente atención. La figura 6 muestra los armónicos constituyentes del segundo “Do” más grave del piano, es decir, su serie armónica. Cada número representa el multiplicador de la frecuencia fundamental (el número “2” corresponde al doble de la frecuencia fundamental, el número “3” al triple, y así sucesivamente), mientras que la nota que aparece encima indica a qué nota corresponde cada armónico:

Figura 6: Serie de armónicos del segundo "Do" más grave del piano

Figura 6: Serie de armónicos del segundo «Do» más grave del piano

 

Si tocamos la nota “Do” representada en la figura 6, y dejamos que suene durante un intervalo largo de tiempo, podemos intentar distinguir sus armónicos constituyentes 8 sintonizando nuestro oído en la nota de cada armónico buscado. Para ello, puede resultar de ayuda pulsar brevemente la nota correspondiente a cada armónico antes de realizar la pulsación larga del “Do” grave, y así disponer de una referencia sonora reciente.

Otra posibilidad para experimentar este proceso de síntesis-análisis de sonidos mediante armónicos consiste en utilizar la voz. Se trata de entonar una nota fija, preferiblemente grave, alterando el timbre progresivamente hasta percibir cómo van apareciendo o desapareciendo armónicos, según vamos hacia el extremo tímbrico más “rico”, que correspondería aproximadamente al sonido “ñ”, o hacia el extremo más “pobre”, que corresponde a la vocal “u”. Una posible secuencia de prueba pasaría por los siguientes sonidos, de la forma más progresiva posible: “u” – “o” – “a” – “e” – “i” – “n” – “ñ”.

Esta práctica es el fundamento del llamado “canto difónico”, que aparentemente produce dos sonidos simultáneos, aunque, en realidad, se trata de un solo sonido en el que la variación controlada de su timbre pone en evidencia la aparición o eliminación de armónicos, que se perciben como una línea melódica independiente.

También podemos aplicar lo expuesto a adquirir una nueva perspectiva sobre la afinación “justa” de acordes en instrumentos de afinación variable, como los de cuerda frotada.

Si pretendemos que tres instrumentos afinen un acorde perfecto mayor, los intervalos buscados son una tercera mayor y una quinta justa respecto a la nota más grave (llamada la nota fundamental del acorde). Comenzando por la tercera mayor, sabemos que, si está bien afinada (la relación de frecuencias entre la nota aguda y la nota grave de una tercera mayor en la afinación justa es de 5/4), el sonido conjunto con la nota fundamental será más “limpio”, es decir, más estable. Si subimos o bajamos ligeramente el tono de dicha nota, el sonido resultante se vuelve más “sucio” y percibimos fricciones.

Teniendo en cuenta la serie de los armónicos, podemos encontrar la explicación: la tercera mayor está ya contenida, en forma de armónico (el quinto armónico, como se observa en la figura 6), en la nota fundamental. Por tanto, cuando añadimos el nuevo sonido que pretendemos que suene a una distancia de tercera mayor, ya existe una referencia contenida como armónico en el sonido de la nota fundamental. Este “choque” o interacción entre el sonido contenido como armónico en la fundamental y el nuevo sonido que añadimos es el que provoca que el sonido se “limpie” o se “ensucie” según nos acerquemos a alejemos de la afinación justa 9

Siguiendo un razonamiento análogo, la afinación de la tercera nota del acorde perfecto mayor, que debe estar a una distancia de una quinta justa (la relación de frecuencias entre la nota aguda y la nota grave de una quinta justa en la afinación justa es de 3/2), interacciona con esa misma quinta justa, que existe previamente como el tercer armónico de la fundamental.

Con esta nueva perspectiva, la valoración de la desafinación correspondiente al “temperamento igual” adquiere una nueva dimensión: los leves desajustes en todos los intervalos (excepto en la octava, único intervalo bien afinado en en el temperamento igual) provocan fricciones que no se limitan a las frecuencias fundamentales de los sonidos simultáneos, sino que se extienden a todos sus armónicos.

A continuación, vamos a examinar un aspecto de la orquestación de una obra muy conocida, “Boléro”, de Maurice Ravel, a la luz de lo expuesto hasta ahora.

Como sabemos, la estructura de la obra consiste en la repetición continua de un motivo melódico largo, con un patrón rítmico fijo, por lo que una parte fundamental del desarrollo de la pieza corresponde a la evolución de un timbre cambiante.

Para variar el timbre, el medio más obvio es utilizar instrumentos diferentes en cada presentación sucesiva del tema principal, o combinarlos por parejas, tocando a unísono o a distancia de octava (esta técnica para enriquecer la tímbrica es empleada con mucha frecuencia por los principales compositores en la historia de la música). Ravel va un paso más allá, realizando combinaciones de tres o más instrumentos, tocando en paralelo a distancias de cuarta, quinta, o sexta (ver figura 7) con el objetivo de generar nuevos timbres, correspondientes a instrumentos virtuales que, en realidad, no existen.

Figura 7: Fragmento de "Boléro", de Maurice Ravel

Figura 7: Fragmento de «Boléro», de Maurice Ravel

 

El lector atento puede haber observado, después de examinar la figura 7, que los armónicos combinados de todos los sonidos que aparecen en la partitura no forman una serie armónica pura, es decir, no todos los armónicos tienen frecuencias que sean múltiplos de la frecuencia de la nota más grave. En efecto, la línea melódica fundamental, representada por los clarinetes, comienza con un “Si bemol” 10 , que es doblado por uno de los oboes y por el flautín, a distancia de octava. En cambio, el corno inglés y una de las flautas tocan “Mi” (a distancia de octava), mientras que el otro oboe y la otra flauta tocan “Sol” (a distancia de octava).

En este caso, el éxito de Ravel en la generación de un nuevo timbre es posible gracias a que los armónicos que no se pueden integrar en la serie armónica de la línea melódica fundamental van a sonar menos (la línea fundamental aparece en cuatro de las ocho voces, mientras que las otras líneas van sólo duplicadas), y serán percibidos como “colores” sonoros secundarios, es decir, como un enriquecimiento tímbrico del sonido de la línea principal. Por tanto, en este fragmento no se distingue una serie de acordes en segunda inversión, sino una única línea melódica de timbre “áspero” 11.

Por otra parte, este ejemplo pone de manifiesto la necesidad de comprender el fenómeno físico-armónico, tanto para el compositor, que debe tenerlo en cuenta en su búsqueda de nuevos colores tímbricos, como por el director de orquesta (intérprete), que debe ser capaz de distinguir si el objetivo del compositor es crear armonías o enriquecimientos tímbricos, y trasladar esa intención a un balance sonoro adecuado entre las líneas melódicas.

 

Conclusión

En el presente trabajo, se ha ofrecido una descripción del fenómeno físico-armónico orientada hacia un equilibrio entre sencillez, claridad y rigor. Además, se ha analizado la aplicación de los conceptos presentados en algunos casos particulares. Para finalizar, de acuerdo con el carácter eminentemente pedagógico de estas líneas, se recapitularán brevemente las principales ideas presentadas:

  • Los armónicos son sonidos caracterizados por su timbre, el más pobre posible, correspondiente a la variación sinusoidal de su forma de onda.
  • Cualquier sonido particular de altura determinada puede descomponerse en una suma de armónicos, cuyas frecuencias serán múltiplos enteros de la frecuencia de dicho sonido.
  • A la inversa, un conjunto de sonidos armónicos se fundirá en un único sonido si se cumple la condición de que las frecuencias de los armónicos son múltiplos enteros de una frecuencia común, que determinará la altura del sonido sintetizado.
  • El timbre de un sonido queda determinado por las intensidades relativas de sus armónicos: la característica cualitativa del timbre queda así reducida a una relación estrictamente numérica.
  • La comprensión del fenómeno físico-armónico proporciona una nueva perspectiva sobre el hecho sonoro que permite explicar nuevas técnicas, como el canto difónico, así como enriquecer el entendimiento de otras situaciones conocidas previamente.

Bibliografía

GOLDÁRAZ GAÍNZA, J. Javier. Afinación y temperamento en la música occidental. Madrid: Alianza Editorial, 1992.

MICHELS, Ulrich. Atlas de música, I. Madrid: Alianza Editorial, 1998.

 

  1. 1. En la práctica, el sonido de los instrumentos musicales presenta varias fases temporales diferenciadas a lo largo de su duración. La fase inicial, denominada “ataque”, es relevante para el reconocimiento de los diferentes instrumentos, pero es menos adecuada para la descripción del fenómeno físico-armónico. Por esta razón, la exposición se centrará en la fase estable del sonido, llamada habitualmente “sostenimiento”.  (volver arriba)
  2. 2. En principio, se necesitan infinitos armónicos para poder reconstruir con total precisión la onda cuadrada. En la práctica, el sistema auditivo no percibe los sonidos cuyas frecuencias superen los 20000 Hertzios, por lo que podemos prescindir de los armónicos por encima de 20000 Hertzios.  (volver arriba)
  3. 3. En realidad, las ondas sonoras no suelen ser exactamente periódicas, por lo que las frecuencias de los armónicos se desvían ligeramente de los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, y pasan a denominarse “parciales”. El análisis del presente trabajo asume implícitamente un cierto grado de idealización (la periodicidad exacta de las ondas sonoras) que facilita su comprensión sin afectar la esencia de los conceptos presentados.  (volver arriba)
  4. 4. Recordemos que el sonido de un diapasón es muy parecido a un armónico, puesto que la forma de variación de su onda sonora correspondiente es muy semejante a una sinusoidal.  (volver arriba)
  5. 5. El conjunto de armónicos forma una serie de intervalos respecto a la frecuencia fundamental conocida como “serie armónica” (ver figura 6).  (volver arriba)
  6. 6. Este proceso de síntesis heredaría del diapasón la limitación de que el sonido se amortiguaría desde el principio, pero esto no afecta al potencial para reconstruir cualquier timbre.  (volver arriba)
  7. 7. La membrana basilar, en el oído interno, actúa como un analizador de frecuencias, gracias a que varía en masa y rigidez a lo largo de toda su longitud, por lo que su frecuencia de resonancia es diferente en cada punto.  (volver arriba)
  8. 8. Una expectativa razonable es la identificación de los cinco primeros armónicos.  (volver arriba)
  9. 9. Además, el sonido que añadimos como tercera mayor también tiene sus armónicos. Concretamente, su cuarto armónico coincide con el quinto armónico de la fundamental.  (volver arriba)
  10. 10. En este párrafo, las notas mencionadas se refieren a sonidos reales, no a los sonidos escritos, es decir, se han tenido en cuenta los instrumentos transpositores (clarinete y corno inglés).  (volver arriba)
  11. 11. Como se indica en el siguiente párrafo, es necesario que el director de orquesta comprenda que este fragmento no debe sonar como una sucesión de acordes, y que establezca un balance sonoro apropiado para tal fin.  (volver arriba)
Etiquetas